Question

【題目】(2014·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F1，F2分別是橢圓 (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，連接BF2并延長交橢圓于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連接F1C.

(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且BF2＝，求橢圓的方程；

(2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，求得 ，代入點(diǎn)，求得，即可求解橢圓的方程；

（2）由點(diǎn)在直線上，得到的方程，聯(lián)立方程組，求解點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，列出方程求得，即可得到橢圓的離心率．

試題解析：

解　設(shè)橢圓的焦距為2c，則F1(－c，0)，F2(c，0).

(1)因?yàn)?/span>B(0，b)，所以BF2＝＝a.

又BF2＝，故a＝.

因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以＋＝1.

解得b2＝1.故所求橢圓的方程為＋y2＝1.

(2)因?yàn)?/span>B(0，b)，F2(c，0)在直線AB上，

所以直線AB的方程為＋＝1.

解方程組得

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

又AC垂直于x軸，由橢圓的對稱性，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

因?yàn)橹本�F1C的斜率為＝，直線AB的斜率為－，且F1C⊥AB，

所以·＝－1.

又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.因此e＝.