Question

如圖，在六面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，
AB∥DE，EF∥DG，且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．
（1）求證：BF∥平面ACGD；
（2）求二面角D-CG-F的余弦值；
（3）求六面體ABCDEFG的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：幾何法：
（1）取DG的中點M，連接AM、FM，由已知得四邊形DEFM為平行四邊形，從而得到四邊形ABFM是平行四邊形，由此能證明BF∥平面ACGD．
（2）由線面垂直DE⊥AD，又DE⊥DG，從而DE⊥平面ADGC，進(jìn)而MF⊥平面ADGC．在平面ADGC中，過M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，則∠MNF是所求二面角的平面角，由此能求出二面角D-CG-F的余弦值．
（3）由題意六面體ABCDEFG可分割成直三棱柱ADM-BEF和斜三棱柱ABC-MFG，由此能求出六面體ABCDEFG的體積．
向量法：
（1）由AD，DE，DG兩兩垂直，以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量量求出

BF

=

CG

，從而BF∥CG，由此能證明BF∥平面ACGD．
（2）求出平面BCGF的法向量和平面ACGD的法向量，由此利用向量法能注出二面角D-CG-F的余弦值．
（3）取DG的中點M，連接AM、FM，由題意可得六面體ABCDEFG可分割成直三棱柱ADM-BEF和斜三棱柱ABC-MFG，由此能求出六面體ABCDEFG的體積．

解答： （本小題滿分14分）
幾何法：
（1）證明：如圖，取DG的中點M，連接AM、FM．
因為DM=

1

2

DG=EF，且EF∥DM，
所以四邊形DEFM為平行四邊形．（1分）
所以MF∥DE，且MF=DE．（2分）
又AB∥DE，且AB=DE，所以MF∥AB，且MF=AB．（3分）
所以四邊形ABFM是平行四邊形，故BF∥AM．（4分）
又AM?平面ACGD，BF?平面ACGD，
所以BF∥平面ACGD．（5分）
（2）解：因為AD⊥平面DEFG，DE?平面DEFG，
所以DE⊥AD，又DE⊥DG，且AD∩DG=D，
所以DE⊥平面ADGC．
因為MF∥DE，所以MF⊥平面ADGC．（6分）
在平面ADGC中，過M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，
如圖，則∠MNF是所求二面角的平面角．（7分）
因為在四邊形ADGC中，
AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM=MG=1，
所以CD=CG=

5

，所以MN=

2 5

5

，（8分）
在Rt△MNF中，MF=2，MN=

2 5

5

，NF=

M2F+M F

=

2 30

5

，（9分）
所以cos∠MNF=

MN

FN

=

6

6

，即二面角D-CG-F的余弦值為

6

6

．（10分）
（3）解：由題意及（1）與（2）可得：
六面體ABCDEFG可分割成直三棱柱ADM-BEF和斜三棱柱ABC-MFG，（12分）
所以V_{六面體ABCDEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG} （13分）
=2×

1

2

×2×1+2×

1

2

×2×1=4．（14分）
向量法：
（1）證明：由已知可得AD，DE，DG兩兩垂直，
以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），
F（2，1，0），G（0，2，0）．

BF

=(0，1，-2)，

CG

=（0，1，-2），
所以

BF

=

CG

，所以BF∥CG．（5分）
又CG?平面ACGD，BF?平面ACGD，所以BF∥平面ACGD．   （6分）
（2）解：

FG

=(0，2，0)，
設(shè)平面BCGF的法向量為

n1

=（x，y，z），
則由

n1 • CG =0 n1 • FG =0

，得

y-2z=0 -2x+y=0

，解得

x=z y=2z

，令z=1，得

n1

=（1，2，1），（7分）
顯然平面ACGD的法向量

n2

=（1，0，0），（8分）
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

6

6

，（9分）
故二面角D-CG-F的余弦值為

6

6

，（10分）
（3）解：取DG的中點M，連接AM、FM，
由題意可得六面體ABCDEFG可分割成直三棱柱ADM-BEF和斜三棱柱ABC-MFG，
所以V_{六面體ABCDEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG} （13分）
=2×

1

2

×2×1+2×

1

2

×2×1=4．（14分）

點評：本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查六面體的體積的求法，是中檔題，解題時要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運用．