Question

15．已知a＞0，設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，q：實(shí)數(shù)x滿足（x-3）²＜1．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分別求出p，q成立的等價(jià)條件，利用p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0得（x-a）（x-3a）＜0
當(dāng)a=1時(shí)，1＜x＜3，即p為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．…（2分）
由（x-3）²＜1，得2＜x＜4，
即q為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x＜4．…（4分）
因?yàn)閜∧q為真，所以p真且q真，
所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3．…（6分）
（2）由x²-4ax+3a²＜0得（x-a）（x-3a）＜0，
所以，p為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是a＜x＜3a．…（8分）
因?yàn)?p是?q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件
所以a≤2且且4≤3a                        …（10分）
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為：$[{\frac{4}{3}，2}]$．                              …（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用逆否命題的等價(jià)性將￢p是￢q的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為q是p的充分不必要條件是解決本題的關(guān)鍵．