Question

6．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．
（1）若ab＜m恒成立，求m的取值范圍；
（2）若$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$≥|2x-1|-|x+2|恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意利用基本不等式求得ab的最大值，可得m的范圍．
（2）利用用基本不等式求得$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$的最小值為9，可得9≥|2x-1|-|x+2|恒成立，分類討論、去掉絕對(duì)值，求得x的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答 （1）解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，由基本不等式得：$ab≤{（\frac{a+b}{2}）^2}=\frac{1}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立，由ab＜m恒成立，∴$m＞\frac{1}{4}$．
（2）解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴$\frac{4}{a}+\frac{1}=（\frac{4}{a}+\frac{1}）（a+b）=5+\frac{4b}{a}+\frac{a}≥9$，
若$\frac{4}{a}+\frac{1}≥|2x-1|-|x+2|$恒成立，則|2x-1|-|x+2|≤9．
當(dāng)x≤-2時(shí)，不等式化為：1-2x+x+2≤9，解得：-6≤x≤-2；
當(dāng)$-2＜x＜\frac{1}{2}$時(shí)，不等式化為：1-2x-x-2≤9，解得：$-2＜x＜\frac{1}{2}$；
當(dāng)$x≥\frac{1}{2}$時(shí)，不等式化為：2x-1-x-2≤9，解得：$\frac{1}{2}≤x≤12$，
綜上可得，x的取值范圍是[-6，12]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．