Question

已知下列四下命題：
①函數(shù)f（x）=2^x滿足：對任意x1，x2∈R，有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]；
②函數(shù)f(x)=log2(x+

1+x2

)，g(x)=1+

2

2x-1

均是奇函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=e^-2-e^x切線斜率的最大值是-2；
④函數(shù)f(x)=x

1

2

-(

1

4

)x的在區(qū)間(

1

4

，

1

3

)上有零點．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①，函數(shù)f（x）=2^x中，足：令x₁=0，x₂=2，可得f（

x1+x2

2

）=f（1）=2；

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[f（0）+f（2）]=

5

2

，可判斷①；
②，利用奇偶函的概念可判斷函數(shù)f(x)=log2(x+

1+x2

)，g(x)=1+

2

2x-1

均是奇函數(shù)從而可判斷②；
③，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得函數(shù)f（x）=e^-2-e^x切線斜率，從而可判斷③；
④，利用零點存在定理可判斷函數(shù)f(x)=x

1

2

-(

1

4

)x在區(qū)間（

1

4

，

1

3

）上無零點．

解答： 解：對于①，函數(shù)f（x）=2^x，令x₁=0，x₂=2，則

x1+x2

2

=1，顯然f（

x1+x2

2

）=f（1）=2；

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[f（0）+f（2）]=

5

2

，f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，故①錯誤；
對于②，函數(shù)f(x)=log2(x+

1+x2

)的定義域為R，且f（-x）+f（x）=log2(-x+

1+(-x)2

)+log2(x+

1+x2

)=log₂1=0，
所以，f（-x）=-f（x），即f(x)=log2(x+

1+x2

)為奇函數(shù)；
同理可得，g（-x）+g（x）=0，即g(x)=1+

2

2x-1

是奇函數(shù)，故②正確；
對于③，函數(shù)f（x）=e^-2-e^x的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=-e^x＜0，
函數(shù)f（x）=e^-2-e^x切線斜率無最大值，故③錯誤
對于④，函數(shù)f(x)=x

1

2

-(

1

4

)x，f′（x）=

1

2 x

-(

1

4

)xln

1

4

=

1

2 x

+(

1

4

)xln4＞0，
所以，f(x)=x

1

2

-(

1

4

)x為R上的增函數(shù)，
又f（

1

4

）=(

1

4

)

1

2

-(

1

4

)

1

4

＜0，f（

1

3

）=(

1

3

)

1

2

-(

1

4

)

1

3

=(

1

27

)

1

6

-(

1

16

)

1

2

＜0，
所以，f(x)=x

1

2

-(

1

4

)x在區(qū)間（

1

4

，

1

3

）上無零點，故④錯誤．
故答案為：②．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的“凹凸”性、奇偶性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的零點等，考查分析與運算求解能力，屬于中檔題．