已知向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(6sinx+cosx,7sinx-2cosx).設(shè)函數(shù)f(x)=
a
b

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值單遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在角A為銳角的△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,f(A)=6,且△ABC的面積為3,b+c=2+3
2
,求a的值.
考點(diǎn):余弦定理,兩角和與差的正切函數(shù),三角形中的幾何計(jì)算,三角函數(shù)的最值
專(zhuān)題:計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形
分析:(Ⅰ)首先,結(jié)合平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,得到函數(shù)的解析式,然后,借助于二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,f(x)=4
2
sin(2x-
π
4
)+2,然后,根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解;
(Ⅱ)根據(jù)f(A)=6得到A=
π
4
,然后,根據(jù)三角形的面積和b+c=2+3
2
,構(gòu)造等式,結(jié)合余弦定理求解a的值.
解答: 解:(Ⅰ)∵f(x)=
a
b
=sinx(6sinx+cosx)+cosx(7sinx-2cosx)
=6sin2x-2cos2x+8sinxcosx
=4sin2x-4cos2x+2
=4
2
sin(2x-
π
4
)+2,
令2x-
π
4
=
π
2
+2kπ(k∈Z),
得x=
8
+kπ(k∈Z),
∴f(x)max=4
2
+2,
令2kπ-
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)可解得:kπ-
π
8
≤x≤kπ+
8
(k∈Z)
∴單遞增區(qū)間為[kπ-
π
8
,kπ+
8
],(k∈Z)
(Ⅱ)由(I)可得f(A)=4
2
sin(2A-
π
4
)+2=6,
∴sin(2A-
π
4
)=
2
2

∵0<A<
π
2
,
∴-
π
4
<2A-
π
4
4

從而2A-
π
4
=
π
4
,
∴A=
π
4
,
又∵S△ABC=
1
2
bcsinA=
2
4
bc=3,
∴bc=6
2

又b+c=2+3
2
,
∴a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bc×
2
2

=(2+3
2
)2-12
2
-2×6
2
×
2
2
=10,
∴a=
10
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了平面向量的基本運(yùn)算、二倍角公式、三角恒等變換公式、三角形的面積公式、余弦定理等知識(shí),屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于滿(mǎn)足a+b=4的所有實(shí)數(shù)a,b,則直線(xiàn)3ax+2y-7b=(b-1)y必過(guò)定點(diǎn)
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)單位,曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為
x=-1+2cosθ
y=2+2sinθ
(參數(shù)θ∈[0,π]),直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρ(cosθ-sinθ)=1.則在C上到直線(xiàn)l距離分別為
2
和3
2
的點(diǎn)共有( 。
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知下列四下命題:
①函數(shù)f(x)=2x滿(mǎn)足:對(duì)任意x1x2∈R,有f(
x1+x2
2
)≥
1
2
[f(x1)+f(x2)]
;
②函數(shù)f(x)=log2(x+
1+x2
),g(x)=1+
2
2x-1
均是奇函數(shù);
③函數(shù)f(x)=e-2-ex切線(xiàn)斜率的最大值是-2;
④函數(shù)f(x)=x
1
2
-(
1
4
)x的在區(qū)間(
1
4
1
3
)
上有零點(diǎn).
其中正確命題的序號(hào)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

不等式組
y≤0
y≥x
x≥-1
表示的平面區(qū)域的面積為( 。
A、
1
2
B、
1
4
C、1
D、2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知3acosC=2ccosA,tanA=
1
3
,則B=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

把下列命題改寫(xiě)成“若p,則q”的形式,并判斷它們的真假:
(1)等腰三角形兩腰的中線(xiàn)相等;
(2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);
(3)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某程序框圖如圖所示,則該程序運(yùn)行后輸出的S的值等于(  )
A、1
B、
1
4
C、
1
2
D、
1
8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x-1
x+2
,則下列說(shuō)法正確的是( 。
A、f(x)在R上為增函數(shù)
B、f(x)在(-∞,-2)上為減函數(shù),在(-2,+∞)上也為減函數(shù)
C、f(x)在(-∞,-2)上為減函數(shù),在(-2,+∞)上為增函數(shù)
D、f(x)在(-∞,-2)上為增函數(shù),在(-2,+∞)上為增函數(shù)

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