Question

已知橢圓Σ的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F₁（-2，0）、F₂（2，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（

5

2

，-

3

2

）．
（1）求橢圓Σ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求∠F₁PF₂的平分線所在直線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓的定義，即可求橢圓Σ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）（方法一）利用向量法，（方法二）利用角平分線的性質(zhì)，可求∠F₁PF₂的平分線所在直線的方程．

解答： 解：（1）依題意，設(shè)橢圓Σ的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）…（1分）c=2…（2分），2a=

(-2- 5 2 )2+( 3 2 )2

+

(2- 5 2 )2+( 3 2 )2

=2

10

…（4分）
所以a=

10

，b=

a2-c2

=

6

…（5分）
橢圓Σ的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

10

+

y2

6

=1…（6分）
（2）由圖可知，∠F₁PF₂的平分線與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為Q（m，0）…（7分）
（方法一）

PQ

=(m-

5

2

，

3

2

)，

PF1

=(-

9

2

，

3

2

)，

PF2

=(-

1

2

，

3

2

)…（8分）
依題意，∠F₁PQ=∠F₂PQ，cos∠F₁PQ=cos∠F₂PQ，

PF1 • PQ

| PF1 |•| PQ |

=

PF2 • PQ

| PF2 |•| PQ |

…（10分）
即

- 9 2 m+ 27 2

3 10 2 (m- 5 2 )2+ 9 4

=

- m 2 + 7 2

10 2 (m- 5 2 )2+ 9 4

…（11分）
解得m=1…（12分）
角平分線PQ所在直線的方程為

y-0

- 3 2 -0

=

x-1

5 2 -1

，即x+y-1=0…（13分）
（方法二）|PF1|=

( 5 2 +2)2+( 3 2 )2

=

3

2

10

，|PF2|=

1

2

10

…（8分）
因?yàn)镻Q是角平分線，所以

|PF1|

|PF2|

=

|QF1|

|QF2|

…（10分）
即

3

1

=

m+2

m-2

…（11分）
解得m=1…（12分）
角平分線PQ所在直線的方程為

y-0

- 3 2 -0

=

x-1

5 2 -1

，即x+y-1=0…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查橢圓的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．