Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x+a
（1）當(dāng)a=-$\frac{3}{2}$時，求函數(shù)y=f（x）圖象上在點（3，f（3））處的切線方程；
（2）若方程f（x）=0有三個不等實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，求得切點坐標(biāo)，運用點斜式方程可得切線的方程；
（2）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間和極值，由題意可得f（x）的極大值大于0，極小值小于0，解不等式即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-$\frac{3}{2}$時，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x-$\frac{3}{2}$，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²-3x+2，
可得在點（3，f（3））處的切線斜率為k=9-9+2=2，
切點為（3，0），
可得函數(shù)y=f（x）圖象上在點（3，f（3））處的切線方程為y=2（x-3），
即為2x-y-6=0；
（2）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x+a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²-3x+2，
當(dāng)1＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x＞2或x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
可得f（x）在x=1處取得極大值，且為$\frac{5}{6}$+a；
f（x）在x=2處取得極小值，且為$\frac{2}{3}$+a．
由方程f（x）=0有三個不等實根，
可得$\frac{5}{6}$+a＞0，且$\frac{2}{3}$+a＜0，
解得-$\frac{5}{6}$＜a＜-$\frac{2}{3}$．
則a的取值范圍是（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查方程和函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，注意運用函數(shù)的極值異號是解決問題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題．