Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

，其中a∈R．
（Ⅰ）當a=-1時判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+ax在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=0時f（x）的圖象關(guān)于y=x對稱得到函數(shù)h（x），若直線y=kx與曲線y=2x+

1

h(x)

沒有公共點，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的正負性來判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）g（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則其導(dǎo)函數(shù)g′（x）≤0在其定義域內(nèi)恒成立；
（Ⅲ）利用分離變量法，構(gòu)造函數(shù)求其值域，從而求出無交點時k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當x=-1時，f（x）的定義域為（0，+∞），
f（x）=lnx+

1

x

，∴f′(x)=

x-1

x2

，
∴當0＜x＜1，f'（x）＜0；當x＞1，f'（x）＞0
∴f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）g(x)=f(x)+ax=lnx-

a

x

+ax，g（x）的定義域為（0，∞），
∴g′(x)=

ax2+x+a

x2

，因為g（x）在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，
所以?x∈（0，+∞），都有g(shù)'（x）≤0，
∴g′（x）≤0?ax2+x+a≤0?a(x2+1)≤-x?a≤

-x

x2+1

?a≤[

-x

x2+1

]min，
又∵

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2

∴

-x

x2+1

≥-

1

2

，
當且僅當x=1時取等號，所以a≤-

1

2

．
（Ⅲ）當a=0時，f（x）=lnx．∴h（x）=e^x
直線l：y=kx與曲線y=2x+

1

h(x)

=2x+

1

ex

沒有公共點，
等價于關(guān)于x的方程2x+

1

ex

=kx，即(k-2)x=

1

ex

（*）在R上沒有實數(shù)解，
（1）當k=2時，方程（*）可化為

1

ex

=0，在R上沒有實數(shù)解，
（2）當k≠2時，方程（*）化為g（x）=xe^x

1

k-2

=xex．
令g（x）=xe^x，則有g(shù)′（x）=（1+x）e^x，令g′（x）＞0，得x＞-1，g′（x）＜0得x＜-1，
∴g（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，+∞）上音調(diào)遞增，
即當x=-1時，g（x）有極小值，也是最小值g(x)min=-

1

e

，同時當x→+∞時，g（x）→+∞，
從而g（x）的取值范圍為[-

1

e

，+∞)，
∴當

1

k-2

∈(-∞，-

1

e

)時，方程（*）無實數(shù)解，
解得k的取值范圍是（2-e，2）；
綜合（1）、（2），得k的取值范圍是（2-e，2]．

點評：本題是一道導(dǎo)數(shù)的綜合題，利用導(dǎo)數(shù)這個工具研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求式中參數(shù)的取值范圍，即轉(zhuǎn)化成恒成立問題．這些都是�？碱}型，所以在平時要多多練習(xí)．屬于中檔試題．