Question

1．已知點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，$\frac{3}{2}$），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-$\frac{3}{2}$）．兩條不同的直線PA、PB與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m、n且滿足mn=4，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡及A，B兩點(diǎn)組成曲線C，設(shè)過點(diǎn)（0，1）且斜率為k的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為E點(diǎn)，直線OE與曲線C交于Q、R兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的方程；
（2）若|EM|•|EN|=λ|EQ|•|ER|，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），根據(jù)斜率公式列方程解出m，n，從而得出關(guān)于x，y的方程，化簡(jiǎn)即可得出曲線C的方程；
（2）聯(lián)立方程組消元，根據(jù)弦長(zhǎng)公式和根與系數(shù)的關(guān)系求出E點(diǎn)坐標(biāo)和|EM|EN|，同理得出|EQ||ER|，得出λ關(guān)于k的函數(shù)，根據(jù)k的范圍得出λ的范圍．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則k_PA=$\frac{y-\frac{3}{2}}{x-1}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{m-1}$，k_PB=$\frac{y+\frac{3}{2}}{x-1}$=$\frac{\frac{3}{2}}{n-1}$，
∴m=$\frac{2y-3x}{2y-3}$，n=$\frac{2y+3x}{2y+3}$，
∴mn=$\frac{4{y}^{2}-9{x}^{2}}{4{y}^{2}-9}$=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
∴曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（3+4k²）x²+8kx-8=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$．
∴|MN|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）[$\frac{64{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{32}{3+4{k}^{2}}$]=$\frac{96（1+{k}^{2}）（1+2{k}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$，
∴|EM||EN|=$\frac{1}{4}$|MN|²=$\frac{24（1+{k}^{2}）（1+2{k}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$，
∴E（-$\frac{4k}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3}{3+4{k}^{2}}$），∴直線OE的方程為y=-$\frac{3}{4k}x$，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4k}x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得Q（$\frac{4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，-$\frac{3}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$），R（-$\frac{4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，$\frac{3}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$），
∴|EQ||EQ|=$\sqrt{1+\frac{9}{16{k}^{2}}}$|$\frac{4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$+$\frac{4k}{3+4{k}^{2}}$|•$\sqrt{1+\frac{9}{16{k}^{2}}}$|-$\frac{4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$+$\frac{4k}{3+4{k}^{2}}$|=（1+$\frac{9}{16{k}^{2}}$）（$\frac{16{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$-$\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$）=$\frac{2（16{k}^{2}+9）（1+2{k}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$．
∴λ=$\frac{|EM||EN|}{|EQ||ER|}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{16{k}^{2}+9}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{21}{4（16{k}^{2}+9）}$，
∵k²≥0，∴$\frac{3}{4}$＜λ≤$\frac{4}{3}$．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系，根與系數(shù)關(guān)系，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，計(jì)算復(fù)雜，屬于難題．