Question

9．函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，f'（x）為其導(dǎo)函數(shù)，若x•f'（x）+f（x）=e^x（x-1），且f（2）=0，則不等式f（x）＜0的解集為（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． （1，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，φ（x）=xf（x），利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化求解不等式的解集即可．

解答 解：函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，f'（x）為其導(dǎo)函數(shù)，
令φ（x）=xf（x），則φ′（x）=x•f'（x）+f（x）=e^x（x-1），
可知當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ（x）是單調(diào)減函數(shù)，并且0•f'（0）+f（0）=e⁰（0-1）=-1＜0，即f（0）＜0
x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，f（2）=0，
則φ（2）=2f（2）=0，
則不等式f（x）＜0的解集就是xf（x）＜0的解集，
不等式的解集為：{x|0＜x＜2}．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．