Question

4．已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)且f（x）=f（x-4），又在區(qū)間[0，2]上f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-\frac{3}{2}x+5，0≤x≤1}\\{{2}^{x}+{2}^{-x}，1＜x≤2}\end{array}\right.$．函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x|+a，若F（x）=f（x）-g（x）恰好有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（2，2.375）．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)且f（x）=f（x-4），則f（x）=f（-x），函數(shù)的周期為4，求得在區(qū)間[-2，0]上，f（x）的解析式，作出f（x）和g（x）的圖象，通過(guò)平移，即可得到所求a的范圍．

解答 解：由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)且f（x）=f（x-4），
則f（x）=f（-x），函數(shù)的周期為4，
則在區(qū)間[-2，0]上，有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+\frac{3}{2}x+5，-1≤x≤0}\\{{2}^{x}+{2}^{-x}，-2≤x＜-1}\end{array}\right.$，
分別作出函數(shù)y=f（x）在[-2，2]的圖象，
并左右平移4個(gè)單位，8個(gè)單位，…，
可得y=f（x）的圖象，再作y=g（x）的圖象，注意上下平移．
當(dāng)經(jīng)過(guò)A（1，2.5）時(shí)，a=2.5-0.5=2，
經(jīng)過(guò)B（3，2.5）時(shí)，a=2，5-0.5³=2.375．
則平移可得2＜a＜2.375時(shí)，圖象共有4個(gè)交點(diǎn)，
即f（x）-g（x）恰好有4個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：（2，2.375）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，注意運(yùn)用圖象的交點(diǎn)，掌握?qǐng)D象平移和數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．