Question

1．在鈍角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為A，B，C且b=atanB．
（Ⅰ）求A-B的值；
（Ⅱ）求sinA+sinB的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=atanB得：bcosB=asinB，再利用正弦定理結(jié)合已知即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得sinA+sinB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），求得B的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由b=atanB，得：bcosB=asinB，（1分）
又由正弦定理得，sinBcosB=sinAsinB，（3分）
由sinB≠0，
所以cosB=sinA（4分）
又P是鈍角三角形，所以$A-B=\frac{π}{2}$．  （6分）
（Ⅱ）由$A-B=\frac{π}{2}$，
所以sinA+sinB=sin（B+$\frac{π}{2}$）+sinB=cosB+sinB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
由（Ⅰ）知C=π-（A+B）=$\frac{π}{2}$-2B∈（0，$\frac{π}{2}$），（8分）
所以$0＜B＜\frac{π}{4}$，（10分）
可得：$B+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$
又$\sqrt{2}sin（B+\frac{π}{4}）∈（1，\sqrt{2}）$，
所以：$sinA+sinB∈（1，\sqrt{2}）$．   （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．