Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2x，g（x）=lnx$，當(dāng)x＞1時(shí)，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x-1）恒成立，則整數(shù)m的最大值為4．

Answer 1

分析 問(wèn)題等價(jià)于m（x-1）＜xlnx+2（x-2）+3對(duì)一切x∈（1，+∞）恒成立，分離參數(shù)，從而可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)即可求得，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f′（x）=x-2，
x＞1時(shí)，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x-1）恒成立，
亦即m＜$\frac{xlnx+2x-1}{x-1}$=$\frac{xlnx+1}{x-1}$+2對(duì)一切x∈（1，+∞）恒成立，
所以不等式轉(zhuǎn)化為m＜$\frac{xlnx+1}{x-1}$+2對(duì)任意x＞1恒成立．
設(shè)p（x）=$\frac{xlnx+1}{x-1}$+2，則p′（x）=$\frac{x-lnx-2}{{（x-1）}^{2}}$，
令r（x）=x-lnx-2（x＞1），則r′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0
所以r（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
因?yàn)閞（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，r（4）=4-ln4-2=2-2ln2＞0，
所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿足x₀∈（3，4），
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，r（x）＜0，即p′（x）＜0；
當(dāng)x＞x₀時(shí)，r（x）＞0，即p′（x）＞0．
所以函數(shù)p（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
又r（x₀）=x₀-lnx₀-2=0，所以lnx₀=x₀-2．
所以[p（x）]_min=p（x₀）=$\frac{{x}_{0}{（x}_{0}-2）+1}{{x}_{0}-1}$=x₀-1+2∈（4，5），
所以m＜[p（x）]_min=x₀-1+2∈（4，5）
故整數(shù)m的最大值是4． 
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．