Question

10．已知函數(shù)y=f（x），若存在實數(shù)m、k（m≠0），使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，則稱函數(shù)y=f（x）為“可平衡”函數(shù)，有序數(shù)對（m，k）稱為函數(shù)f（x）的“平衡”數(shù)對；
（1）若m=$\sqrt{3}$，判斷f（x）=sinx是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；
（2）若m₁，m₂∈R且（m₁，$\frac{π}{2}$），（m₂，$\frac{π}{4}$）均為f（x）=sin²x的“可平衡”數(shù)對，當0＜x＜$\frac{π}{3}$時，方程m₁+m₂=a有兩個不相等的實根，求a 的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)f（x）=sinx是“可平衡”函數(shù)，由題意$\sqrt{3}$sinx=sin（x+k）+sin（x-k），由此求出m、k的值；
（2）由題意求出m₁、m₂的值，利用m₁+m₂=a，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出a 的取值范圍．

解答 解：（1）假設(shè)f（x）=sinx是“可平衡”函數(shù)，則由題意應(yīng)有：
$\sqrt{3}$sinx=sin（x+k）+sin（x-k）
=sinxcosk+cosxsink+sinxcosk-cosxsink
=2sinxcosk；
∴cosk=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得 k=2tπ±$\frac{π}{6}$，t∈Z；
∴存在實數(shù)m、k（m≠0），使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，
均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立；
∴f（x）=sinx是“可平衡”函數(shù)，
且 $cosk=\frac{{\sqrt{3}}}{2}∴k=±\frac{π}{6}+2nπ，n∈Z$；
（2）由題意m₁sin²x=sin²（x+$\frac{π}{2}$）+sin²（x-$\frac{π}{2}$）=2cos²x，
∴m₁=$\frac{{2cos}^{2}x}{{sin}^{2}x}$；
m₂sin²x=sin²（x+$\frac{π}{4}$）+sin² （x-$\frac{π}{4}$）=sin²（x+$\frac{π}{4}$）+cos²（x+$\frac{π}{4}$）=1，
解得m₂=$\frac{1}{{sin}^{2}x}$；
∴m₁+m₂=$\frac{{2cos}^{2}x+1}{{sin}^{2}x}$=$\frac{2cos2x+4}{1-cos2x}$=a，
解得cos2x=$\frac{a-4}{a+2}$，
∵0＜x＜$\frac{π}{3}$，∴0＜2x＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜cos2x＜1，且y=cos2x是單調(diào)遞減，
∴方程m₁+m₂=a不會有兩個不相等的實根，即a的取值范圍為∅．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用問題，是綜合題．