Question

5．如圖所示，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點（D、E不與邊的端點重合）．已知線段AD、AB的長分別為m、n，AE、AC的長是關(guān)于x的方程x²-18x+mn=0的兩個根．
（1）證明：C、B、D、E四點共圓；
（2）若∠A=90°，n=2m=8，求四邊形CBDE外接圓的面積．

Answer 1

分析 （1）利用平面幾何知識證得△ADE∽△ACB，進一步得到∠ADE=∠ACB，從而得到C、B、D、E四點共圓；
（2）求解方程x²-18x+mn=0的兩個根，得到AE=2，AC=16．設(shè)所求外接圓的圓心為O，半徑為R，則圓心O為線段CE的中垂線與線段BD的中垂線的交點，利用勾股定理求得四邊形CBDE外接圓的半徑的平方得答案．

解答 （1）證明：連接DE，根據(jù)題意，在△ADE和△ACB中，
AD•AB=mn=AE•AC，即$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
又∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ACB，
因此∠ADE=∠ACB，
∴C、B、D、E四點共圓；
（2）解：當m=4，n=8時，方程x²-18x+mn=0的兩個根為x₁=2，x₂=16．
故AE=2，AC=16．
設(shè)所求外接圓的圓心為O，半徑為R，則圓心O為線段CE的中垂線與線段BD的中垂線的交點，
則|OE|=r，則${r}^{2}=（\frac{16-2}{2}）^{2}+（4+\frac{8-4}{2}）^{2}=85$．
故四邊形CBDE外接圓的面積為85π．

點評 本題考查圓內(nèi)接多邊形性質(zhì)的判斷，考查分析問題和求解問題的能力，屬中檔題．