Question

17．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB=$\frac{π}{3}$，△ADP為等邊三角形．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）若AB=2，BP=$\sqrt{6}$，求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）取AD中點O，連結(jié)PO，BO，由已知可得PO⊥AD，BO⊥AD，又PO∩BO=O，即可證AD⊥平面POB，從而可得PB⊥AD．
（2）先證明PO⊥AD，可得PO⊥平面ABCD，利用等體積，求出點D到平面PBC的距離．

解答 （1）證明：取AD中點O，連結(jié)PO，BO．
側(cè)面PAD為等邊三角形，底面ABCD為菱形且∠DAB=$\frac{π}{3}$
∴PO⊥AD，BO⊥AD，
又PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB，
∴PB⊥AD；
（2）解：由題意，可得OB=OP=$\sqrt{3}$，
∵PB=$\sqrt{6}$，
∴PB²=OB²+OP²，
∴OP⊥OB
∵OB∩AD=O，
∴PO⊥平面ABCD
∴V_D-PBC=V_P-DBC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1，
∵AD∥BC，
∴PB⊥BC，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×2$=$\sqrt{6}$，
設(shè)點D到平面PBC的距離為h，則$\frac{1}{3}×\sqrt{6}h=1$，∴h=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積的求法，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)換思想，屬于中檔題．