Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²+2x（x＞0），f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*，則f₅（x）在[1，2]上的最大值是（　�。�

• A． 2¹⁰-1
• B． 2¹²-1
• C． 3¹⁰-1
• D． 3³²-1

Answer 1

分析 易知f（x）=x²+2x=（x+1）²-1在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（x）＞0；從而依次代入化簡即可．

解答 解：f（x）=x²+2x=（x+1）²-1在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（x）＞0；
f₁（x）=f（x）=x²+2x，在[1，2]上遞增，
故f₁（x）_max=3²-1，
f₂（x）_max=f（f₁（x）_max）=f（3²-1）=（3²-1+1）²-1=3⁴-1，
f₃（x）_max=f（f₂（x）_max）=f（3⁴-1）=（3⁴-1+1）²-1=3⁸-1，
f₄（x）_max=f（f₃（x）_max）=f（3⁸-1）=（3⁸-1+1）²-1=3¹⁶-1，
f₅（x）_max=f（f₄（x）_max）=f（3¹⁶-1）=（3¹⁶-1+1）²-1=3³²-1，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，主要是單調(diào)性的運用，同時考查整體思想的應(yīng)用，考查運算能力，屬于中檔題．