Question

7．四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，以C為圓心的圓與直線BD相切，Q為圓內(nèi)的任意一點(diǎn)，如圖所示，$\overrightarrow{AQ}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，則y-x的取值范圍是（-∞，$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，可得直線BD的方程x+y-1=0．算出以點(diǎn)C為圓心且與直線BD相切的圓方程為（x-1）²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$．設(shè)Q（m，n），根據(jù)題中的向量等式算出P的坐標(biāo)為（m，n），由Q在圓內(nèi)或圓上得到（m-1）²+（n-1）²≤$\frac{1}{4}$．將此不等式化成關(guān)于m的一元二次不等式，利用根的判別式加以計(jì)算，可得y-x取值范圍．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示：
則A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（1，0）
直線BD的方程為x+y=1，∴點(diǎn)C到BD的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓方程為
（x-1）²+（y-1）²=$\frac{1}{2}$．
設(shè)Q（m，n），則$\overrightarrow{AQ}$=（m，n），$\overrightarrow{AD}$=（0，1），$\overrightarrow{AB}$=（1，0），
∵$\overrightarrow{AQ}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，（x，y∈R），
∴（m，n）=x（0，1）+y（1，0）=（x，y），
可得x=m且y=n，Q的坐標(biāo)為（m，n）．
∵Q在圓內(nèi)或圓上，
∴（m-1）²+（n-1）²≤$\frac{1}{2}$，
設(shè)y-x=t，即n-m=t，得n=t+m，
代入上式化簡(jiǎn)整理得2m²-（4-2t）m-2t+$\frac{7}{4}$≤0，
若要上述不等式有實(shí)數(shù)解，
則△=（4-2t）²-4×2×（$\frac{7}{4}$-2t）≥0，
化簡(jiǎn)得2t²-4t+1≥0，
解得t≥$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$或t≤$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
∴y-x取值范圍是（-∞，$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，+∞）．
故答案為：（-∞，$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題在直角梯形中給出滿足條件的向量式，求參數(shù)的取值范圍．著重考查了直線的方程、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系與向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，屬于中檔題．同時(shí)考查了邏輯推理能力與計(jì)算能力，考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想，是一道不錯(cuò)的綜合題．