Question

18．已知f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+4}$．
（1）若關于x的不等式f（x）＞k的解集是{x|x＜-4，或x＞-1}，求實數(shù)k的值；
（2）設g（x）=x²-2mx+3，x∈[1，3]，若對任意的x₁＞0，總存在x₂∈[1，3]使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由x²+4＞0，把f（x）＞k化為2x＞k（x²+4），利用一元二次不等式的解集求出k的值；
（2）根據(jù)題意，把問題轉化為f（x）_max＜g（x）_max，求出對應區(qū)間上的最大值，列出不等式，
即可求出m的取值范圍．

解答 解：（1）∵x²+4＞0，
∴不等式f（x）＞k可化為2x＞k（x²+4），
即kx²-2x+4k＜0；
又該不等式的解集是{x|x＜-4，或x＞-1}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{-4-1=\frac{2}{k}}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{2}{5}$；
（2）對任意x₁＞0，總存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，
等價于f（x）_max＜g（x）_max；
而f（x）在x＞0時的最大值為f（2）=$\frac{1}{2}$，
且g（x）=x²-2mx+3，x∈[1，3]，
∴m＜2時，g（x）在[1，3]上的最大值是g（3）=12-m，
令12-m＞$\frac{1}{2}$，解得m＜$\frac{23}{2}$，
∴應取m＜2；
m≥2時，g（x）在[1，3]上的最大值是g（1）=4-2m，
令4-2m＞$\frac{1}{2}$，解得m＜$\frac{7}{4}$；
不合題意，舍去；
綜上，實數(shù)m的取值范圍是{m|m＜2}．

點評 本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，也考查了轉化思想的應用問題，考查了分類討論思想的應用問題，是綜合性題目．