Question

19．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意0＜x₁＜x₂時(shí)，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，若關(guān)于x的不等式f（x²-2mx+m+1）+f（x²-1）＜0的解集中恰好有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（1-\sqrt{10}，1-\sqrt{2}）∪$$（1+\sqrt{2}，1+\sqrt{10}）$．

Answer 1

分析 由條件和函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷出f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性列出不等式組，由題意求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵對(duì)任意0＜x₁＜x₂時(shí)，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，則f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
∴f（x²-2mx+m+1）+f（x²-1）＜0為：f（x²-2mx+m+1）＜f（1-x²），
∴x²-2mx+m+1＜1-x²，則2x²-2mx+m＜0，
則△=4m²-4×2×m=4m（m-2）＞0，得m＜0或m＞2，
解得$\frac{m-\sqrt{m（m-2）}}{2}$＜x＜$\frac{m+\sqrt{m（m-2）}}{2}$，
∵f（x²-2mx+m+1）+f（x²-1）＜0的解集中恰好有兩個(gè)整數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{m（m-2）}＞1}\\{\sqrt{m（m-2）}＜3}\\{m＞2或m＜0}\end{array}\right.$，解得$1-\sqrt{10}＜m＜1-\sqrt{2}$或$1+\sqrt{2}＜m＜1+\sqrt{10}$，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（1-\sqrt{10}，1-\sqrt{2}）∪$$（1+\sqrt{2}，1+\sqrt{10}）$．
故答案為：$（1-\sqrt{10}，1-\sqrt{2}）∪$$（1+\sqrt{2}，1+\sqrt{10}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義，奇函數(shù)的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，以及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．