Question

11．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過F₂與雙曲線的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線交于點M，且cos∠F₁MF₂=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則雙曲線的離心率為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根據(jù)斜率與平行的關系即可得出過焦點F₂的直線，與另一條漸近線聯(lián)立即可得到交點M的坐標，求得直線MF₂的斜率為k₂=$\frac{a}$，直線MF₁的斜率為k₁=$\frac{\frac{bc}{2a}}{-\frac{3c}{2}}$=-$\frac{3a}$，求得tan∠F₁MF₂=2，運用兩直線的到角公式，計算可得b=3a，運用離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的焦點為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
不妨設過點F₂與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=$\frac{a}$（x-c），
與y=-$\frac{a}$x聯(lián)立，可得交點M（$\frac{c}{2}$，-$\frac{bc}{2a}$），
可得直線MF₂的斜率為k₂=$\frac{a}$，
直線MF₁的斜率為k₁=$\frac{\frac{bc}{2a}}{-\frac{3c}{2}}$=-$\frac{3a}$，
由cos∠F₁MF₂=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，可得sin∠F₁MF₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
即有tan∠F₁MF₂=$\frac{sin∠{F}_{1}M{F}_{2}}{cos∠{F}_{1}M{F}_{2}}$=2，
由兩直線的到角公式可得tan∠F₁MF₂=$\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{1+{k}_{1}{k}_{2}}$，
即為$\frac{-\frac{3a}-\frac{a}}{1-\frac{^{2}}{3{a}^{2}}}$=2，化簡可得3a²+2ab-b²=0，
解得b=3a，即有c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{10}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點評 本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質，熟練掌握雙曲線的漸近線、離心率的計算公式、兩直線的到角公式是解題的關鍵，屬于中檔題．