Question

11．如圖，已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F且依次交拋物線及圓（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$于點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)，則9|AB|+4|CD|的最小值為$\frac{37}{2}$．

Answer 1

分析 求出||AB|=x_A+$\frac{1}{2}$，|CD|=x_D+$\frac{1}{2}$，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，則x_D=x_A=1，9|AB|+4|CD|=$\frac{39}{2}$．當(dāng)l：y=k（x-1）時(shí)，代入拋物線方程，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，9|AB|+4|CD|=$\frac{13}{2}+9{x}_{A}+4{x}_{D}$$≥\frac{13}{2}+2\sqrt{4×9{x}_{A}{x}_{D}}=\frac{37}{2}$．

解答 解：∵y²=4x，焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線 l₀：x=-1
由定義得：|AF|=x_A+1，
又∵|AF|=|AB|+$\frac{1}{2}$，∴|AB|=x_A+$\frac{1}{2}$
同理：|CD|=x_D+$\frac{1}{2}$，
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，則x_D=x_A=1，∴9|AB|+4|CD|=$\frac{39}{2}$．
當(dāng)l：y=k（x-1）時(shí)，代入拋物線方程，得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x_Ax_D=1，x_A+x_D=1，
∴9|AB|+4|CD|=$\frac{13}{2}+9{x}_{A}+4{x}_{D}$$≥\frac{13}{2}+2\sqrt{4×9{x}_{A}{x}_{D}}=\frac{37}{2}$．
綜上所述4|AB|+9|CD|的最小值為$\frac{37}{2}$．
故答案為：$\frac{37}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓與拋物線的綜合，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題