Question

8．已知函數(shù)f（x）=ln（a^x+b）（a＞0且a≠1）是R上的奇函數(shù)，則不等式f（x）＞alna的解集是（　�。�

• A． （a，+∞）
• B． （-∞，a）
• C． 當(dāng)a＞1時(shí)，解集是（a，+∞）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集是（-∞，a）
• D． 當(dāng)a＞1時(shí)，解集是（-∞，a）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集是（a，+∞）

Answer 1

分析 利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得：f（0）=0，解得b=0．可得f（x）=xlna．則不等式f（x）＞alna，即為：（x-a）lna＞0．對(duì)a分類討論即可得出．

解答 解：函數(shù)f（x）=ln（a^x+b）（a＞0且a≠1）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=ln（1+b）=0，解得b=0．
∴f（x）=xlna．則不等式f（x）＞alna，即為：（x-a）lna＞0．
∴不等式轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{x＞a}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{x＜a}\end{array}\right.$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．