Question

3．定義在R上的增函數(shù)y=f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（3）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-4）＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，進(jìn)行求解，
（2）利用函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)，證明f（x）為奇函數(shù)；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式即可．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
（2）證明：令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）又函數(shù)f（x）在R上的是單調(diào)遞增函數(shù)，
由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-4）＜0，
得f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-4）=f（-3^x+9^x+4），
即k•3^x＜-3^x+9^x+4恒成立，
∴k＜$\frac{4+{9}^{x}-{3}^{x}}{{3}^{x}}$=3^x+$\frac{4}{{3}^{x}}$-1，
∵3^x+$\frac{4}{{3}^{x}}$-1≥2$\sqrt{{3}^{x}•\frac{4}{{3}^{x}}}$-1=4-1=3，
當(dāng)且僅當(dāng)3^x=$\frac{4}{{3}^{x}}$，即x=log₃2時取等號，
∴k＜3，
即實數(shù)k的取值范圍是（-∞，3）．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用抽象函數(shù)研究函數(shù)的奇偶性，以及基本不等式的應(yīng)用．綜合性應(yīng)用．