Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-1，則數(shù)列{log₂a_n}的前10項(xiàng)和等于（　�。�

• A． 1023
• B． 55
• C． 45
• D． 35

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式：n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n，求出log₂a_n=log₂2^n-1=n-1，再由等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-1，
可得a₁=S₁=2-1=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1，對(duì)n=1也成立．
log₂a_n=log₂2^n-1=n-1，
則數(shù)列{log₂a_n}的前10項(xiàng)和等于0+1+2+…+9=$\frac{1}{2}$×（1+9）×9=45．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列遞推式：n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，同時(shí)考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和等差數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．