Question

11．若函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意的兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，下列三個(gè)式子：f（x₁-x₂）+f（x₂-x₁）=0，（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$都恒成立，則f（x）可能是（　�。�

• A． f（x）=$\frac{1}{x}$
• B． f（x）=-x²
• C． f（x）=-tanx
• D． f（x）=|sinx|

Answer 1

分析 推導(dǎo)出f（x）是奇函數(shù)，且是減函數(shù)，由此排除B，D；再利用特殊值排除C，由此利用排除法能求出結(jié)果．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意的兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，
f（x₁-x₂）+f（x₂-x₁）=0，（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，
∴f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴選項(xiàng)B和選項(xiàng)D不成立，
∵f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，
在A中，f（x）=$\frac{1}{x}$，
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}}{2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵（x₁+x₂）²=${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}$＞4x₁x₂，
∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故A成立；
在C中，f（x）=-tanx，
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-tan$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{-tan{x}_{1}-tan{x}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$（tanx₁+tanx₂），
取${x}_{1}=\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{9π}{4}$，得f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=f（$\frac{5π}{4}$）=-tan$\frac{5π}{4}$=-1，
$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{-tan{x}_{1}-tan{x}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$（tanx₁+tanx₂）=-1，
此時(shí)，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故C不成立．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的函數(shù)的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．