Question

1．給出以下命題：
①若cos＜$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{PQ}$＞=-$\frac{1}{3}$，則異面直線MN與PQ所成角的余弦值為-$\frac{1}{3}$；
②若平面α與β的法向量分別是$\overrightarrow a=（2，4，-3）$與$\overrightarrow b=（-1，2，2）$，則平面α⊥β；
③已知A、B、C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O為平面ABC外任意一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$，則點(diǎn)M∈平面ABC；
④若向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是空間的一個(gè)基底，則向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c$、$\overrightarrow a+\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$也是空間的一個(gè)基底；
則其中正確的命題個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由兩條異面直線所成的角的取值范圍可以判斷①，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可以判斷②，在空間，點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在α、β、γ，使$\overrightarrow{OM}$=α$\overrightarrow{OA}$+β $\overrightarrow{OB}$+γ$\overrightarrow{OC}$且α+β+γ=1可以判斷③，由三個(gè)向量非零不共線可以判斷④，從而可得到正確的命題個(gè)數(shù)．

解答 解：對(duì)于①：∵兩條異面直線所成的角的取值范圍是（0°，90°]，
∴異面直線MN與PQ所成角的余弦值不能為負(fù)值，故①不正確；
對(duì)于②：∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（2，4，-3）（-1，2，2）=-2+8-6=0，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$．∴平面α與平面β垂直，故②正確；
對(duì)于③：∵$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{5}\overrightarrow{OB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$，且$\frac{1}{5}+\frac{4}{5}+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}≠1$
∴M點(diǎn)不在平面ABC內(nèi)，故③不正確；
對(duì)于④：∵向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是空間的一個(gè)基底，則向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c$、$\overrightarrow a+\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$也是空間的一個(gè)基底，∵三個(gè)向量非零不共線，故④正確．
∴其中正確的命題個(gè)數(shù)是：2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了兩條異面直線所成的角的取值范圍以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，是中檔題．