Question

8．已知拋物線y²=2px（p＞0）上一 點(diǎn)M（1，y₀）到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線$C：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0）的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線C的一條漸近線垂直于直線AM，則其離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用拋物線的焦點(diǎn)弦公式求得p的值，代入拋物線方程求得M點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的斜率公式，即可求得AM的斜率，由雙曲線的漸近線方程y=±bx，-b×2=-1，即可求得b的值，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由拋物線的定義可知：M（1，y₀）到其焦點(diǎn)的距離為5，即1+$\frac{p}{2}$=5，
則p=8，
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y²=16x，則M（1，4）或M（1，-4），
假設(shè)M（1，4），A（-1，0），則AM的斜率為k=$\frac{4-0}{1-（-1）}$=2，
雙曲線的漸近線方程y=±bx，
由雙曲線C的一條漸近線垂直于直線AM，則-b×2=-1，
故b=$\frac{1}{2}$．則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義，雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．