Question

（2012•朝陽(yáng)區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f(x)=

eax

x2+1

，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)f'（x），欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問(wèn)題解決．
（II）對(duì)字母a進(jìn)行分類(lèi)討論，再令f'（x）大于0，解不等式，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：因?yàn)?span id="fctz4cg" class="MathJye">f(x)=

eax

x2+1

，所以f′(x)=

eax(ax2-2x+a)

(x2+1)2

．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

ex

x2+1

，f′(x)=

ex(x2-2x+1)

(x2+1)2

，
所以f（0）=1，f'（0）=1．
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為x-y+1=0．…（4分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="bzqsqpy" class="MathJye">f′(x)=

eax(ax2-2x+a)

(x2+1)2

=

eax

(x2+1)2

(ax2-2x+a)，…（5分）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，由f'（x）＞0得x＜0；由f'（x）＜0得x＞0．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞減．…（6分）
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)g（x）=ax²-2x+a，方程g（x）=ax²-2x+a=0的判別式△=4-4a²=4（1-a）（1+a），…（7分）
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，此時(shí)△＞0．
由f'（x）＞0得x＜

1- 1-a2

a

，或x＞

1+ 1-a2

a

；
由f'（x）＜0得

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

．
所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，

1- 1-a2

a

)和(

1+ 1-a2

a

，+∞)，
單調(diào)遞減區(qū)間(

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

)．…（9分）
②當(dāng)a≥1時(shí)，此時(shí)△≤0．所以f'（x）≥0，
所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞）．…（10分）
③當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，此時(shí)△＞0．
由f'（x）＞0得

1+ 1-a2

a

＜x＜

1- 1-a2

a

；
由f'（x）＜0得x＜

1+ 1-a2

a

，或x＞

1- 1-a2

a

．
所以當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，

1+ 1-a2

a

)和(

1- 1-a2

a

，+∞)，
單調(diào)遞增區(qū)間(

1+ 1-a2

a

，

1- 1-a2

a

)．…（12分）
④當(dāng)a≤-1時(shí)，此時(shí)△≤0，f'（x）≤0，所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，+∞）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題以三次函數(shù)為載體，主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．