Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$（x∈R），點(diǎn)P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，且x₁+x₂ =1．
（1）求y₁+y₂ 的值；
（2）若記S_m=f（$\frac{1}{m}$）+f（$\frac{2}{m}$）+f（$\frac{3}{m}$）+…+f（$\frac{m}{m}$）（m∈N^*），求S_m；
（3）若不等式$\frac{{a}^{m}}{{S}_{m}}$＜$\frac{{a}^{m+1}}{{S}_{m+1}}$對于m∈N^*都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件證明f（x₁）+f（1-x₁）=$\frac{1}{2}$．即可．
（2）利用結(jié)論f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$．以及倒序相加法進(jìn)行求和即可．
（3）由$\frac{{a}^{m}}{{S}_{m}}＜\frac{{a}^{m+1}}{{S}_{m+1}}$，得12a^m（$\frac{1}{3m-1}$-$\frac{a}{3m+2}$）＜0對m∈N⁺恒成立．由此利用分類討論思想能夠求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$，
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$+$\frac{1}{{4}^{1-x}+2}$=$\frac{1}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{x}}{4+2•{4}^{x}}$=$\frac{2}{2•{4}^{x}+4}$+$\frac{{4}^{x}}{4+2•{4}^{x}}$=$\frac{2+{4}^{x}}{4+2•{4}^{x}}=\frac{2+{4}^{x}}{2（2+{4}^{x}）}$=$\frac{1}{2}$，
∵x₁+x₂ =1．
∴x₂ =1-x₁．
則y₁+y₂ =f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）+f（1-x₁）=$\frac{1}{2}$．
（1）由（1）知f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$，則f（0）=$\frac{1}{3}$，f（1）=$\frac{1}{4+2}$=$\frac{1}{6}$，
則S_m=f（$\frac{1}{m}$）+f（$\frac{2}{m}$）+f（$\frac{3}{m}$）+…+f（$\frac{m}{m}$）=f（$\frac{1}{m}$）+f（$\frac{2}{m}$）+f（$\frac{3}{m}$）+…+f（$\frac{m-1}{m}$）+f（1），
同時(shí)S_m=f（1）+f（$\frac{m-1}{m}$）+…+f（$\frac{3}{m}$）+f（$\frac{2}{m}$）+f（$\frac{1}{m}$），
等式相加得2S_m=2f（1）+（m-1）[f（$\frac{m-1}{m}$）+f（$\frac{1}{m}$）]=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$（m-1）=$\frac{1}{2}m-\frac{1}{6}$，
即S_m=$\frac{1}{4}$m-$\frac{1}{12}$．
（3）由（2）知S_m=$\frac{1}{4}$m-$\frac{1}{12}$．
則不等式$\frac{{a}^{m}}{{S}_{m}}$＜$\frac{{a}^{m+1}}{{S}_{m+1}}$等價(jià)為$\frac{{a}^{m}}{\frac{1}{4}m-\frac{1}{12}}$＜$\frac{{a}^{m+1}}{\frac{1}{4}（m+1）-\frac{1}{12}}$，
得12a^m（$\frac{1}{3m-1}$-$\frac{a}{3m+2}$）＜0…①對m∈N⁺恒成立．
顯然，a≠0，
（�。┊�(dāng)a＜0時(shí)，由$\frac{1}{3m-1}-\frac{a}{3m+2}＞0$，得a^m＜0．
而當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)a^m＜0不成立，所以a＜0不合題意；
（ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)閍^m＞0，
則由式①得，$a＞\frac{3m+2}{3m-1}=1+\frac{3}{3m-1}$．
又$\frac{3}{3m-1}$隨m的增大而減小，
故，當(dāng)m=1時(shí)，1+$\frac{3}{3m-1}$有最大值$\frac{5}{2}$，
故a$＞\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)值的計(jì)算，不等式恒成立，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意倒序相加法、分類討論思想的靈活運(yùn)用．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．