Question

5．已知函數(shù)f（x）=2sin（5x+φ）（-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一個(gè)對(duì)稱中心是（$\frac{π}{6}$，0），則φ=$\frac{π}{6}$，現(xiàn)將函數(shù)f（x）的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的5倍，（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x），再將函數(shù)g（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)h（x），若h（α）=-$\frac{2}{3}$（-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$），則sinα的值是-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求得φ的值；由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得到h（x）的解析式，從而根據(jù)h（α）=-$\frac{2}{3}$，求得sinα的值．

解答 解：根據(jù)函數(shù)f（x）=2sin（5x+φ）（-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的一個(gè)對(duì)稱中心是（$\frac{π}{6}$，0），可得$\frac{5π}{6}$+φ=kπ，k∈Z，則φ=$\frac{π}{6}$．
現(xiàn)將函數(shù)f（x）=2sin（5x+$\frac{π}{6}$）的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的5倍，（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再將函數(shù)g（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)h（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=2sinx的圖象．
若h（α）=2sinα=-$\frac{2}{3}$ （-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$），∴sinα=-$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{π}{6}$；-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．