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已知a∈R，命題p：實系數一元二次方程x2+ax+2=0的兩根都是虛數；命題q：存在復數z同時滿足|z|=2且|z+a|=1．
（1）若命題p中根的虛部為整數，求實數a的值；
（2）若命題p、q同為真命題，求實數a的取值范圍．
考點：二次函數的性質,復數代數形式的混合運算
專題：計算題,函數的性質及應用,數系的擴充和復數
分析：（1）由實系數一元二次方程x2+ax+2=0的兩根都是虛數知△=a2-8＜0，再令
±
8-a2
2
為非零整數求a；
（2）求命題p、q為真，再判斷都為真時的要求即可．
解答： 解：（1）由已知可得△=a2-8＜0，
∴-2
2
＜a＜2
2
，
于是方程的根為
-a±
8-a2
i
2
，
由方程的虛部為整數時，
±
8-a2
2
為非零整數，
∴a=±2．
（2）若命題p為真命題，由（1）得，-2
2
＜a＜2
2
，
若命題q為真命題，
則復平面上的圓x2+y2=4和圓（x+a）2+y2=1有交點，
于是1≤|a|≤3，
故兩個命題同時為真，則實數a的取值范圍是（-2
2
，-1]∪[1，2
2
）．
點評：本題考查了二次方程的根的存在性及復數的定義，同時考查了復數的幾何意義及命題的真假性的判斷，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦點分別為F1、F2，拋物線x2=2py（p＞0）的焦點為F1，點M（
2
6
3
，
2
3
）是橢圓與拋物線的公共點．
（1）求橢圓和拋物線的方程．
（2）過點N（2t，t2）作拋物線的切線l與橢圓交于不同的兩點A、B，設F1到切線l的距離為d，求
|AB|
d
的取值范圍．

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在正方體ABCD-A1B1C1D1中，分別求AC與B1D、AC與C1D所成的角的大小．

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如圖①是一個正三棱柱形容器，底面邊長為a，高為2a，內裝水若干．將容器放倒，把一個側面作為底面，如圖②，這時水面恰好為中截面．請問圖①中容器內水面的高度是多少？

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，滿足：
AB
⊥
AC
，M是BC的中點．
（Ⅰ）若|
AB
|=|
AC
|，求向量
AB
+2
AC
與向量2
AB
+
AC
的夾角的余弦值；
（Ⅱ）若O是線段AM上任意一點，且|AB|=|AC|=
2
，求
OA
•
OB
+
OC
•
OA
的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合A={x|x是菱形}，B={x|x是正方形}，C={心x|x是平行四邊形}，那么A，B，C之間的關系是（　　）
A、A⊆B⊆C
B、B⊆A⊆C
C、A?B⊆C
D、A=B⊆C

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=|x-2|x的單調減區(qū)間是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=-
1
3
，
π
2
＜α＜π．
（1）求
cos(α+4π)cos2(α+π)sin2(α+3π)
sin(α-4π)sin(5π+α)cos2(-α-π)
的值；
（2）求cos(2α-
π
4
)的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=2sinxcosx-cos（2x-
π
6
）．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）當x∈[0，
2π
3
]時，求函數f（x）的最大值及取得最大值時的x的值．

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