Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2sinxcosx-cos（2x-

π

6

）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，

2π

3

]時，求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時的x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：原式可化簡為f（x）=sin（2x-

π

3

），
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=π；
（2）由2kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

π

2

，即可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]；
（3）當(dāng)x∈[0，

2π

3

]時，有-

π

3

≤2x-

π

3

≤π，故有當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

時，f（x）_max=1，此時x=

5π

12

．

解答： 解：f（x）=sin2x-cos2xcos

π

6

-sin2xsin

π

6

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）；
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵2kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜2kπ+

π

2

，
∴2kπ-

π

6

＜2x＜2kπ+

5π

6

（k∈Z），
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）；
（3）∵0≤x≤

2π

3

，
∴0≤2x≤

4π

3

，
∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤π，
∴當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

時，f（x）_max=1，此時x=

5π

12

．

點(diǎn)評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基礎(chǔ)題．