Question

已知cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=-

1

3

，

π

2

＜α＜π．
（1）求

cos(α+4π)cos2(α+π)sin2(α+3π)

sin(α-4π)sin(5π+α)cos2(-α-π)

的值；
（2）求cos(2α-

π

4

)的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由已知逆用兩角和的余弦公式得到cosα的值，進(jìn)一步求出sinα，cos2α，sin2α的值，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．

解答： 解：由已知cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ=-

1

3

，

π

2

＜α＜π．
得到cosα=-

1

3

，sinα=

2 2

3

；
∴（1）

cos(α+4π)cos2(α+π)sin2(α+3π)

sin(α-4π)sin(5π+α)cos2(-α-π)

=

cosαcos2αsin2α

-sinαsinαcos2α

=-cosα=-

1

3

；
（2）由（1）得到sin2α=2sinαcosα=2×

2 2

3

×（-

1

3

）=-

4 2

9

，cos2α=2cos²α-1=-

7

9

，
∴cos(2α-

π

4

)=cos2αcos

π

4

+sin2αsin

π

4

=-

7

9

×

2

2

-

4 2

9

×

2

2

=

-8-7 2

18

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用以及利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)表達(dá)式的值，符號(hào)是本題的易錯(cuò)之處．