Question

已知定義在區(qū)間[0，2]上的兩個函數(shù)f（x）和g（x），其中f（x）=-x²+2ax+1+a²，g(x)=x-

1

4

+

2-x

，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）對于?x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）對于?x₁，x₂∈[0，2]，f（x₁）＞g（x₂）恒成立，轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)是最值即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=-x²+2ax+1+a²，
∴函數(shù)的對稱軸為x=a，則區(qū)間[0，2]的中點為x=1，
當(dāng)a≤1時，函數(shù)f（x）的最小值為f（2）=a²+4a-3；
當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）的最小值為f（0）=1+a²；
綜上函數(shù)f（x）的最小值為f（x）_min=

a2+4a-3，a≤1 1+a2，a＞1

．
（Ⅱ）設(shè)t=

2-x

，則0≤t≤

2

，
則x=2-t²，
∴g（x）=m（t）=-t²+t+

7

4

，
則對稱軸為t=

1

2

，
∴g（x）_max=2，
要使f（x₁）＞g（x₂）恒成立，只要f（x）_min＞g（x）_max即可，
∴當(dāng)a≤1時，f(x)min=a2+4a-3＞2，
解得：a＜-5，
當(dāng)a＞1時，f(x)min=1+a2＞2
解得：a＞1，
綜上所述，a∈（-∞，-5）∪（1，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)恒成立問題，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力．