Question

已知數(shù)列{a_n}，T_n為其前n項和，且T_n+

1

2

a_n=1．
（1）求a₁，a₂，a₃，并猜想{a_n}的通項公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）依題意，可求得a₁=

2

3

，a₂=

2

32

，a₃=

2

33

；從而可猜想a_n=

2

3n

；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時，a₁=

2

3

，結(jié)論成立；②假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即a_k=

2

3k

，用上歸納假設(shè)，去證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立即可．

解答： 解：（1）∵T₁+

1

2

a₁=1，T₁=a₁，
∴a₁=

2

3

；
又（a₁+a₂）+

1

2

a₂=1，
∴

3

2

a₂=1-a₁=

1

3

，
∴a₂=

2

9

=

2

32

；
同理可求，a₃=

2

33

；
∴猜想：a_n=

2

3n

；
（2）證明：①當(dāng)n=1時，a₁=

2

3

，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即a_k=

2

3k

，
則當(dāng)n=k+1時，（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）+

1

2

a_k+1=1，
即T_k+

3

2

a_k+1=1，
∴

3

2

a_k+1=1-T_k；
∵數(shù)列{a_k}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
∴T_k=

2 3 [1-( 1 3 )k]

1- 1 3

=1-(

1

3

)k，
∴

3

2

a_k+1=1-1+(

1

3

)k，
∴a_k+1=2•(

1

3

)k+1=

2

3k+1

，
即n=k+1時，結(jié)論也成立；
綜合①②知，對任意n∈N^*，a_n=

2

3n

．

點評：本題考查數(shù)列遞推，著重考查數(shù)學(xué)歸納法，考查運算、猜想、推理與證明的能力，屬于中檔題．