Question

已知f（x）=2^x（x∈R）可以表示為一個(gè)奇函數(shù)g（x）與一個(gè)偶函數(shù)h（x）之和，若不等式a•g（x）+h（2x）≥0對(duì)于x∈[2，3]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，求出g（x）和h（x）的表達(dá)式，然后利用參數(shù)分離法 即可求出a的取值范圍．

解答： 解：∵h(yuǎn)（x）+g（x）=2^x，
∴h（-x）+g（-x）=2^-x，
即h（x）-g（x）=2^-x，
兩式聯(lián)立解得h(x)=

2x+2-x

2

，g（x）=

2x-2-x

2

，
則不等式a•g（x）+h（2x）≥0等價(jià)為a•

2x-2-x

2

+

22x+2-2x

2

≥0，
∴a•

2x-2-x

2

≥-

22x+2-2x

2

，
即a（2^x-2^-x）≥-（2^2x+2^-2x），
∵x∈[2，3]，∴2^x-2^-x＞0，且t=2^x-2^-x為增函數(shù)，
∴

15

4

≤t≤

63

8

，
即a≥-（

22x+2-2x

2x-2-x

）=-

(2x-2-x)2+2

2x-2-x

=-（2^x-2^-x+

2

2x-2-x

）=-（t+

2

t

），
∵y=t+

2

t

在

15

4

≤t≤

63

8

上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t=

15

4

時(shí)，y取得最小值為

15

4

+

2

15 4

=

257

60

，
∴-（t+

2

t

）≤-

257

60

，
∴a≥-

257

60

，
故答案為：a≥-

257

60

，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問題，利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)g（x）和h（x）的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．