Question

已知函數(shù)f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x．
（1）若函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+1）上均為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若方程f（x）=g（x）+m有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）分別求出兩個函數(shù)的遞增區(qū)間，取交集即可，（2）將問題轉(zhuǎn)化為求h（x）=

1

4

x²-

7

4

x-

m

8

，m（x）=lnx的交點問題，只需h（x）_min≤h（

7

2

）即可，從而求出m的值．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

2(x2-4)

x

，令f′（x）＞0，解得：x＞2，
g′（x）=-2x+14，令g′（x）＞0，解得：x＜7，
∴2＜x＜7，
若函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+1）上均為增函數(shù)，
∴

a≥2 a+1≤7

，解得：2≤a≤6，
∴a的范圍是[2，6]．
（2）∵f（x）=g（x）+m，
∴

1

4

x²-

7

4

x-

m

8

=lnx，
令h（x）=

1

4

x²-

7

4

x-

m

8

，m（x）=lnx，
畫出函數(shù)的圖象，如圖示：
，
當x=

7

2

時，m（x）=ln

7

2

，
∴只需h（x）_min=-

m

8

-

49

16

＜ln

7

2

即可，
∴m＞-

49

2

-8ln

7

2

．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，考查數(shù)形結(jié)合，分類討論，本題屬于中檔題．