Question

對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對任意，都有，且對任意∈D，當時，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù).
（Ⅰ）判斷函數(shù)和是否為R上的“平底型”函數(shù)？   并說明理由；
（Ⅱ）設(shè)是（Ⅰ）中的“平底型”函數(shù)，k為非零常數(shù)，若不等式 對一切R恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，求和的值.

Answer 1

（Ⅰ）是“平底型”函數(shù)，不是“平底型”函數(shù)
（Ⅱ）（Ⅲ）m＝1，n＝1

（1）對于函數(shù)，當時，.
當或時，恒成立，故是“平底型”函數(shù)（2分）
對于函數(shù)，當時，；當時，.
所以不存在閉區(qū)間，使當時，恒成立.
故不是“平底型”函數(shù).                          （4分）
（Ⅱ）若對一切R恒成立，則.
因為，所以.又，則.（6分）
因為，則，解得.
故實數(shù)的范圍是.                               （8分）
（Ⅲ）因為函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，則
存在區(qū)間和常數(shù)，使得恒成立.
所以恒成立，即.解得或.  （10分）
當時，.
當時，，當時，恒成立.
此時，是區(qū)間上的“平底型”函數(shù).          （11分）
當時，.
當時，，當時，.
此時，不是區(qū)間上的“平底型”函數(shù).          （12分）
綜上分析，m＝1，n＝1為所求.                      （13分）