Question

已知函數f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx（a∈R），函數g（x）=-

a

x

，若至少存在一個x₀∈[1，e]，使得f（x_o）＞g（x_o）成立，a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：

分析：由題意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，即

a

2

＞

lnx

x

在[1，e]上有解，令h（x）=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

，由此利用導數性質能求出a的取值范圍．

解答： 解：由題意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，
∴ax＞2lnx，即

a

2

＞

lnx

x

在[1，e]上有解，
令h（x）=

lnx

x

，則h′（x）=

1-lnx

x2

，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴

a

2

＞h(1)=0，
∴a＞0．
∴a的取值范圍是（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點評：本題主要考查極值的概念、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．