Question

已知函數(shù)f（x）=x-lnx，若?x₁∈[

1

2

，2]，?x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立，則實數(shù)b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：由已知得x＞0，且f′(x)=1-

1

x

，．?x₁∈[

1

2

，2]，x₂∈[

1

2

，2]，f（x₁）_min=1，(x22)min=（

1

2

）²=

1

4

，由此能求出實數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=x-lnx，
∴x＞0，且f′(x)=1-

1

x

，
由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），f（x）的減區(qū)間為（0，1），
∴x=1時，f（x）取極小值f（1）=1，此極小值也是最小值，
即f（x）_min=f（1）=1．
∵?x₁∈[

1

2

，2]，?x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立，
又?x₁∈[

1

2

，2]，x₂∈[

1

2

，2]，f（x₁）_min=1，(x22)min=（

1

2

）²=

1

4

，
∴x22+b≤1，∴b≤1-x22≤1-

1

4

=

3

4

．
∴實數(shù)b的取值范圍是（-∞，

3

4

]．
故答案為：（-∞，

3

4

]．

點評：本題主要考查極值的概念、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．