Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí).

①求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；

②定義其中，求；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若對(duì)任意給定的，在上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①；②8079；（2）.

【解析】

（1）①時(shí)，，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在處的切線(xiàn)方程．

②由，得，由此能求出的值．

（2）根據(jù)若對(duì)任意給定的，，在區(qū)間，上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，得到函數(shù)在區(qū)間，上不單調(diào)，從而求得的取值范圍．

（1）①∵，

∴

∴，∴，∵，

所以切線(xiàn)方程為.

②，

.

令，則,.

因?yàn)?/span>①,

所以②,

由①+②得,所以.

所以.

（2），當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減∵，，

所以，函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>.

因?yàn)?/span>， ，

故，，①

此時(shí)，當(dāng) 變化時(shí)、的變化情況如下：

	—	0	+
	單調(diào)減	最小值	單調(diào)增

∵，

，

∴對(duì)任意給定的，在區(qū)間上總存在兩個(gè)不同的，

使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足下列條件

，即

令，，

，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減所以，對(duì)任意，有，即②對(duì)任意恒成立.

由③式解得：④

綜合①④可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意給定的，

在上總存在兩個(gè)不同的，使成立.