Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$為常數(shù)，則稱數(shù)列{a_n}為和諧數(shù)列，若一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列為和諧數(shù)列，則該等差數(shù)列的公差d=2．

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），再設(shè)$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=k，由a₁=1，得（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．結(jié)合對(duì)任意正整數(shù)n上式恒成立，得$\left\{\begin{array}{l}{d（4k-1）=0}\\{（2k-1）（2-d）=0}\end{array}\right.$，
由此能求出數(shù)列{a_n}的公差．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
由$\frac{{S}_{n}}{{S}_{2n}}$=k，且a₁=1，
得n+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=k[2n+$\frac{1}{2}$2n（2n-1）d]，
即2+（n-1）d=4k+2k（2n-1）d．
整理得，（4k-1）dn+（2k-1）（2-d）=0．
∵對(duì)任意正整數(shù)n上式恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{d（4k-1）=0}\\{（2k-1）（2-d）=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{k=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$．
∴數(shù)列{a_n}的公差為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了恒成立思想的運(yùn)用，考查了計(jì)算能力，屬中檔題．