Question

18．某水泥渠道的橫截面為等腰梯形，上部寬下部窄，為保證額定流量，須使截面面積S為定值，若梯形的腰與下底的夾角為120°，為使水泥用料最省，需過水四周（即橫截面的下底寬與兩腰之和）最短，問此時(shí)腰長與下底寬之比是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出下底為x，腰長為l，高位h，x=$\frac{2S}{\sqrt{3}l}$$-\frac{l}{2}$，h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$l，列出函數(shù)關(guān)系式g（l）=2l+x=$\frac{3}{2}$l$+\frac{2S}{\sqrt{3}l}$運(yùn)用基本不等式求解即可．

解答 解：設(shè)下底為x，腰長為l，高位h，
根據(jù)題意得出；h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$l，
$\frac{1}{2}×$（1+x+x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$l=S，
化簡得出；x=$\frac{2S}{\sqrt{3}l}$$-\frac{l}{2}$，0$＜l＜2\sqrt{S}$
∴過水四周g（l）=2l+x=$\frac{3}{2}$l$+\frac{2S}{\sqrt{3}l}$≥2$\sqrt{\sqrt{3}S}$，（此時(shí)l²=$\frac{4S}{3\sqrt{3}}$）
∵x=$\frac{2S}{\sqrt{3}l}$$-\frac{l}{2}$，
∴$\frac{x}{l}$=$\frac{2S}{\sqrt{3}{l}^{2}}$$-\frac{1}{2}$=$\frac{2S}{\sqrt{3}×\frac{4S}{3\sqrt{3}}}$$-\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$$-\frac{1}{2}=1$，
即當(dāng)$\frac{l}{x}$=1時(shí)，過水四周g（l）=2l+x最小值為2$\sqrt{\sqrt{3}S}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了函數(shù)不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于應(yīng)用題目，關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀題意，列出函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為基本不等式即可．