Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|
（ I）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）+3|x-4|＞m對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （ I）分類討論當(dāng)x≥4時(shí)，當(dāng)$-\frac{1}{2}≤x＜4$時(shí)，當(dāng)$x＜-\frac{1}{2}$時(shí)，求解原不等式的解集．
（II）利用絕對(duì)值三角不等式求出最值，可得m的范圍，

解答 解：（ I）當(dāng)x≥4時(shí)，f（x）=2x+1-（x-4）=x+5＞0，得x＞-5，所以x≥4成立．
當(dāng)$-\frac{1}{2}≤x＜4$時(shí)，f（x）=2x+1+x-4=3x-3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立．
當(dāng)$x＜-\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=-x-5＞0，得x＜-5，所以x＜-5成立．
綜上，原不等式的解集為{x|x＞1或x＜-5}．…5分
（II）f（x）+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-（2x-8）|=9．
當(dāng)$x≥4或x≤-\frac{1}{2}時(shí)等號(hào)成立$，所以m＜9．…10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值，極大值不等式的解法以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．