Question

【題目】在中,已知，M是BC的中點(diǎn).

(1)若,求向量與向量的夾角的余弦值；

(2)若O是線段AM上任意一點(diǎn),且，求的最小值；

(3)若點(diǎn)P是邊BC上的一點(diǎn),且，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）.

【解析】

（1）利用向量夾角公式即可求出向量與向量的夾角的余弦值;

（2）根據(jù)已知條件求出線段AM的長，利用平行四邊形法則得到，,

表示成關(guān)于的二次函數(shù),求二次函數(shù)的最小值,即可求出結(jié)果;

（3）先用數(shù)量積定義把轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)的表達(dá)式,再利用基本不等式求的最小值,從而得所求.

（1）設(shè)向量與向量的夾角為,

由，

(),

=

,同理

,

向量與向量的夾角的余弦值.

（2），設(shè),

則,而,

=

==

當(dāng)時(shí),的最小值是;

（3）設(shè),則

=

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,

的最小值為.