Question

15．已知函數(shù)f（x）=a（x-1）-21nx（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上無零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=1代入，求出函數(shù)的導數(shù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，結合函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，從而得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，函數(shù)f（x）=x-1-2lnx，定義域是（0，+∞），
f′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，
由f′（x）＞0解得：x＞2，由f′（x）＜0，解得0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
（Ⅱ）（1）當a≤0時，由x∈（0，1），得x-1＜0，-2lnx＞0，
∴f（x）＞0恒成立，即a≤0符合題意；
（2）當a＞0時，f′（x）=a-$\frac{2}{x}$=$\frac{a}{x}$（x-$\frac{2}{a}$），
①當a≤2時，即$\frac{2}{a}$≥1時，由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{2}{a}$，
即f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減，故f（x）＞f（1）=0，
滿足對?x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，
故此時f（x）在區(qū)間（0，1）上無零點，符合題意；
②當a＞2時，即0＜$\frac{2}{a}$＜1時，由f′（x）＞0得x＞$\frac{2}{a}$，由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{2}{a}$，
即f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）遞減，在（$\frac{2}{a}$，1）遞增，
此時f（$\frac{2}{a}$）＜f（1）=0，
令g（a）=e^a-a，當a＞2時，g′（a）=e^a-1＞e²-1＞0恒成立，
故函數(shù)g（a）=e^a-a在區(qū)間（2，+∞）遞增，
∴g（a）＞g（2）=e²-2＞0；
即e^a＞a＞2，
∴0＜$\frac{1}{{e}^{a}}$＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{2}{a}$＜1，
而f（$\frac{1}{{e}^{a}}$）=a（$\frac{1}{{e}^{a}}$-1）-2ln$\frac{1}{{e}^{a}}$=$\frac{a}{{e}^{a}}$+a＞0，
故當a＞2時，f（$\frac{1}{{e}^{a}}$）•f（$\frac{2}{a}$）＜0，
即?x₀∈（$\frac{1}{{e}^{a}}$，$\frac{2}{a}$），使得f（x₀）=0成立，
∴a＞2時，f（x）在區(qū)間（0，1）上有零點，不合題意，
綜上，a的范圍是{a|a≤2}．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了導數(shù)的應用，考查分類討論思想，本題有一定的難度．