Question

3．已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別為F₁F₂，這兩條曲線在第一象限的交點為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．若|PF₁|=10，記橢圓與雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則e₁•e₂的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{3}$，+∞）
• B． （$\frac{1}{5}$，+∞）
• C． （$\frac{1}{9}$，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由條件可得m=10，n=2c，再由橢圓和雙曲線的定義可得a₁=5+c，a₂=5-c，（c＜5），運用三角形的三邊關(guān)系求得c的范圍，再由離心率公式，計算即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．若|PF₁|=10，
即有m=10，n=2c，
由橢圓的定義可得m+n=2a₁，
由雙曲線的定義可得m-n=2a₂，
即有a₁=5+c，a₂=5-c，（c＜5），
再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得2c+2c＞10，
可得c＞$\frac{5}{2}$，即有$\frac{5}{2}$＜c＜5．
由離心率公式可得e₁•e₂=$\frac{c}{{a}_{1}}•\frac{c}{{a}_{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{25-{c}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{25}{{c}^{2}}-1}$，
由于1＜$\frac{25}{{c}^{2}}$＜4，則有$\frac{1}{\frac{25}{{c}^{2}}-1}$＞$\frac{1}{3}$．
則e₁•e₂ 的取值范圍為（$\frac{1}{3}$，+∞）．
故選：A．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查三角形的三邊關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．