Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，點E為AB上一點，且$\frac{AE}{AB}$=k，0＜k＜1，點F為PD中點．
（1）若k=$\frac{1}{2}$，求證：AF∥平面PEC；
（2）是否存在一個常數(shù)k，使得三棱錐C-PEB的體積等于四棱錐P-ABCD的體積的$\frac{1}{3}$，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）作FM∥CD交PC于M，證明四邊形AEMF為平行四邊形，得到AF∥EM，利用直線與平面平行的判定定理證明直線AF∥平面PEC．
（2）通過求解V_C-PEB=V_P-CEB，V_P-ABCD，列出方程即可求解常數(shù)k．

解答 （1）證明：作FM∥CD交PC于M．∴FM∥AE…（1分）
∵點F為PD中點，∴FM=$\frac{1}{2}$CD．∵k=$\frac{1}{2}$，∴AE=$\frac{1}{2}$AB=FM，
∴AEMF為平行四邊形，…（2分）
∴AF∥EM，…（3分）
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴直線AF∥平面PEC．…（5分）
（2）解：V_C-PEB=V_P-CEB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1-k）×1×\frac{\sqrt{2}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{12}（1-k）$ …（7分）
${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×1×1×\frac{\sqrt{2}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$…（9分）
$\frac{\sqrt{2}}{12}（1-k）=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{6}$…（10分）
所以存在常數(shù)k=$\frac{1}{3}$…（12分）

點評 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．